Cette page montre quelques curiosités mathématiques que l'on peut rencontrer...


 1 - Un est égal à deux <=> 1 = 2 ?
Version 1 :
Posons a = 1, b = 1
(1) a = b
(2) a×a = a×b
(3) a×a - b×b = a×b - b×b
(4) a×a + a×b - a×b - b×b = b×( a-b )
(5) a×( a+b ) - b×( a+b ) = b×( a-b )
(6) ( a+b )×( a-b ) = b×( a-b )
(7) a+b = b
(8) 2 = 1
Version 2 :
Posons 2=1+1
2x(2-1)=(1+1)(2-1)
Développons : 2x2-2x1=1x2+1x2-1x1-1x1
Passons 1x2 de droite à gauche : 2x2-2x1-1x2=1x2-1x1-1x1
Factorisons : 2x(2-1-1)=1x(2-1-1)
En simplifiant les 2 membres par le facteur (2-1-1), il reste alors : 2=1
Où est l’arnaque/erreur ?


 2 - 1 = 0,99999999999999... ?
Version 1 :
(1) a = 0,99999999999999...
(2) 10×a = 9,99999999999999...
(3) 10×a = 9 + 0,99999999999999...
(4) 10×a = 9 + a
(5) 10×a - a = 9
(6) 9×a = 9
(7) a = 1
Version 2 :
1 = 3 x (1/3) = 3 x 0.33333333333... = 0.99999999999...
Est ce possible ?


 3 - Trois égal à zéro <=> 3 = 0 ?
On chercher une solution de l'équation x*x+x+1=0.
On fait passer 1 de l'autre côté : x*x+x=-1
On reprend l'équation de départ et on la multiplie par x : x*x*x+x*x+x=0
On simplifie avec la deuxième équation, on obtient : x*x*x-1=0
On fait passer 1 de l'autre côté : x*x*x=1
Donc x=1, en remplaçant x dans la première équation on trouve 3=0 !


 4 - Somme infinie
Soit A = 1+2+4+8+16+32+64...
Donc 2A =2+4+8+16+32+64+128...
2A+1 = 1+2+4+8+16+32+64+128...
2A+1=A
D'où A=-1, or A est une somme de termes positifs.
Comment peut-il être alors négatif ?



Solutions :

1 - De la ligne 6 à la ligne 7 (version 1), on simplifie par a-b ce qui est incorrecte car a-b=0 (car l’hypothèse de départ était a=b=1). De même pour la version 2 où l'on divise par 2-1-1.

2 - Non ! C'est un problème de pointillés. On ne sait pas ce qu'il se passe réellement après la virgule. Toutefois une démonstration par l’absurde est existe, c’est juste celle présentée ici qui est fausse.

3 - Lorsqu'on multiplie l'équation par x, on rajoute la solution x=0 qui n'est pas solution de la première équation. Si on utilise la première équation pour simplifier tout ce qu'on peut dire c'est que toute solution de la première équation sera encore solution de l'équation obtenue. Le contraire est faux : toute solution de l'équation obtenue n'est pas forcément solution de la première équation.

4 - On fait une somme de termes infinis. On ne sait pas ce qu'il se passe dans les pointillés. Donc on ne peut pas écrire que 2A+1=A. Il faudra encore formaliser l'expression pour résoudre ce problème. La somme de n= 0 à infini de 2n diverge. Elle n'existe pas. Donc on ne peut pas écrire l'égalité 2A+1=A.